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感受數學之美 體驗分類思想

作者:未知

  數學之美之所以在生活中隨處可見,正是因為它是效率的表達,是效用的體現。正如我們生活中隨處可見的等腰三角形模型:衣架,斜拉索橋,交通標志,金字塔的側面等。等腰三角形中蘊含了數學中的對稱之美及分類討論的數學思想方法。筆者現就一堂等腰三角形的分類討論習題課與大家共同探討。
  1.教學目標
  《義務教育數學課程標準(2011)》明確提出,通過學習等腰三角形的有關知識,學生需要了解等腰三角形的概念,探索并證明等腰三角形的性質定理,探索并掌握等腰三角形的判定定理。本節課是在學習了等腰三角形的有關性質定理之后,圍繞等腰三角形的分類討論開展的內拓展,讓學生通過本節課的學習,感受到等腰三角形的對稱之美,體驗分類討論的數學思想方法。
  2.教學過程設計
  2.1環節1:問題思考引出分類
  師:等腰三角形是否是軸對稱圖形?若是,請你畫出它的對稱軸,并告訴老師它有幾條對稱軸?
  生1:等腰三角形是軸對稱圖形,它有一條對稱軸。
  生2:當它是等邊三角形時,有三條對稱軸。
  師:等腰三角形中蘊含著數學中的對稱美,其實以上兩個同學的答案就是已經對等腰三角形進行了分類。
  在環節二的基礎上,將等腰三角形的分類討論代入到稍微復雜的圖形分析問題中,問題3利用等邊對等角,當△PBC是等腰三角形時若PC=PB;若PC=BC;若PB=BC。再利用三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可求出∠APC。
  問題4將等腰三角形的分類討論與動點問題相結合,考察學生動手作圖與圖形分析的能力。當△PBC是以PB為腰的等腰三角形時,由于固定一腰,情況將分為:若PB=BC;PB=PC;若PC=BC再將分類討論結合動點運動長度AP= 2t,BP=6-2t,求出t。
  學生疑惑:問題4的分類中,比較好入手的是PB=BC和PB=PC,對于如何利用PC=BC這個條件求出PB的長度,學生往往忽略將CD⊥AB與PC=BC結合起來利用等腰三角形的三線合一性質求出PB的長度。
  教師感悟:問題3考察學生的基礎幾何分析能力,學生完成情況較好;問題4在問題3的基礎上,將動點結合分類討論,學生遇到動點問題就會產生畏懼感,教師要引導學生在解決動點問題過程中,要化動為靜,畫出動態情況下對應的靜態模型,標出對應線段長度,再進行圖形分析,涉及線段的長度,往往需要結合等腰三角形的性質、勾股定理等與求線段長度有關的定理進行處理。
  2.4環節4:拓展創新綜合分析
  本題的難點在于動點P不是單純地在一條線段上運動,而是在折線運動,此時作圖分類尤其關鍵,按照點P的運動路徑,若△BCP為等腰三角形,可以分為以下幾類:
  (1)點P在線段AC上,此時由于∠C=90o,故只有BC= PC一種情況如圖(1),此時P走過的路程為線段PC的長度,PC=BC=3,進而可以求出t。
  (2)點P在線段AB上,此時有可能出現三種情況①PB=BC;②PB=PC;③BC=PC如圖(2)。此時三種情況下求t,只需求出P走過的路程(AP+AC)再除以速度。
  學生疑惑:復雜的分類討論應該如何入手才能做到不重不漏?分類討論后,針對圖(2)②與圖(2)③的情況,沒有尋求到如何將PB=PC和BC=PC轉化成求解AP的思路。
  教師感悟:分類討論的不重不漏主要要和學生強調分類的依據。本題中的分類依據有兩個,一個是點P所在的線段,一個是構成△BCP的等腰三角形哪兩條邊為腰。分類討論可在確定一個大分類下再進行子分類,比如本題中可先確定大分類為兩類:點P在線段AC上;點P在線段AB上。再分別在這兩個大分類的前提下進行等腰三角形腰的分類討論即可做到不重不漏。
  圖(2)②的情況主要是由PB=PC這個已知條件進行轉化,得到∠PBC=∠PCB,進而由等角的余角相等得出∠PCA=∠A,從而得到AP=PC=BP。但在教學過程中發現有學生通過過點P分別作BC和AC的垂線段構造矩形從而證明全等而證得,對于正確的證法也應該給予肯定。
  圖(2)③中,將圖形繞點C將線段AB逆時針旋轉至水平線即可轉化成問題4的情況,此時便可以發現需要過點C作AB邊上的高CH,通過等面積法求出CH的長度,就與問題4相同,最后就可以通過勾股定理和等腰三角形的三線合一求出BH,進而求出AP的長度。在教學過程中,教師要教學生懂得將未知的問題化歸成已知的幾何模型去解決,提高學生的幾何分析能力。
  2.5環節5:總結課堂思維提升
  遇到等腰三角形的幾何問題,可如下思考
  3.課堂反思教學提升
  等腰三角形的學習和應用是中考的重難點,本節課主要圍繞等腰三角形的分類討論展開。在整體教學中,教師應該著重培養學生的三觀。(1)基礎觀:幾何問題的分析是一個層層遞進的過程,這要求學生有扎實的基礎幾何功底,對于本節課而言,教學中常用到的知識,等腰三角形的性質;勾股定理……都要求教師在教學中教會學生在做題的過程中懂得聯想知識,應用相應知識解決問題。(2)文理觀:隨著中考閱讀量的增加,題目的冗長對學生解題提升了一定的難度,遇到如問題5中復雜的幾何問題,教學中應注重文字語言到數學語言的分析與轉化,必要時,可將文字所提示的情況轉化成幾何圖形,方便分類討論進行分析,這要求學生有基礎的文字轉化能力與作圖技巧。(3)數理觀:數學的思維在本節課的分析中必不可少,題目萬變,蘊含的思想不變。這要求教師在教學過程中不僅要教學生怎么做,更要教學生為什么這樣做。因此。數學思想的滲透尤其關鍵。例如本堂課由等腰三角形的對稱之美引入遇到等腰三角形腰不確定,分類討論,分類討論的一般思路是要確定分類標準,不重不漏,教學生如何做到不重不漏。分類后幾何問題的分析解決需要運用到化歸與轉化的數學思想,如何聯想與運用幾何知識,都是教師在教學中應該給予學生的指導。
  (晉江市華僑中學,福建泉州362200)
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